La quantité de mouvement, dans sa définition et sa formule, est le produit de la masse d'un objet par sa vitesse : p = m × v, en kg·m/s. Quand une force agit pendant un court instant, elle change cette quantité de mouvement de F × Δt, que l'on appelle l'impulsion. Cette relation est la clé de la théorie de l'hélice : une hélice pousse parce qu'elle accélère de la matière.

Au sommaire :

• Impulsion et quantité de mouvement
• Conservation de la quantité de mouvement
• Un exemple : le canon sur son wagon

1 : Impulsion et quantité de mouvement : définition et formule

Prenons un exemple simple. Un homme pousse une armoire montée sur des roulettes, et nous négligeons les frottements. Il exerce sur elle une force F pendant un intervalle de temps Δt, et la vitesse de l'armoire passe de v1 à v2.

À gauche, l'homme et l'armoire ; à droite, les forces sur l'armoire. Le poids et la force normale s'annulent : la force résultante est F.

L'accélération moyenne est la variation de vitesse divisée par la durée : a = (v2 − v1) / Δt. La deuxième loi de Newton, F = m × a, donne alors :

F = m × (v2 − v1) / Δt   soit   F × Δt = m × v2 − m × v1

Le produit F × Δt (en newtons-secondes) s'appelle l'impulsion. Le produit m × v est la quantité de mouvement p, dont l'unité du système international est le kg·m/s. L'impulsion est donc égale à la variation de la quantité de mouvement :

F × Δt = p' − p   avec p = m × v et p' = m × v'

Cette écriture permet de retrouver la force moyenne d'un phénomène brutal sans en connaître le détail.

Exemple : une balle de base-ball de 0,15 kg est au repos, puis le batteur la frappe. Juste après le coup, elle part à 40 m/s, et l'impact dure 0,001 s. Sa quantité de mouvement initiale est nulle, la finale vaut 0,15 × 40 = 6 kg·m/s. La force moyenne vaut donc :

F = (0,15 kg × 40 m/s) / 0,001 s = 6 000 N

Six mille newtons, soit le poids d'environ six cents kilos : la balle a de quoi se plaindre.

2 : Conservation de la quantité de mouvement lors d'une collision

La quantité de mouvement sert surtout à étudier l'interaction de deux objets ou plus. Le schéma suivant montre une collision entre deux objets qui glissent sans frottement. Chacun subit son poids et une force normale, qui s'annulent.

Avant, pendant et après la collision. Pendant le choc, les deux objets s'exercent des forces égales et opposées, F12 et F21.

Ces deux forces sont une action et une réaction : elles ont la même grandeur et des sens opposés, donc F12 + F21 = 0. Si la collision dure Δt, la variation de quantité de mouvement de chaque objet s'écrit :

• pour l'objet 1 : F12 × Δt = p'1 − p1 ;
• pour l'objet 2 : F21 × Δt = p'2 − p2.

En additionnant les deux équations, et puisque F12 + F21 = 0, nous obtenons :

p'1 − p1 + p'2 − p2 = 0   soit   p1 + p2 = p'1 + p'2

La quantité de mouvement totale du système est donc conservée. Ce résultat est précieux : nous relions les vitesses avant et après la collision sans rien savoir des forces qui s'exercent pendant le choc. Il suffit qu'elles soient égales et opposées.

3 : Exemple de calcul de quantité de mouvement : le canon sur son wagon

Un canon est fixé sur un wagon, initialement au repos, qui peut se déplacer sans frottement. Le canon tire un boulet de masse m = 5 kg avec une vitesse horizontale v = 15 m/s par rapport au sol, vers la paroi opposée du wagon. La masse totale du canon et du wagon vaut M = 15 000 kg, et nous négligeons la masse des gaz de l'explosion. Deux questions se posent : quelle est la vitesse V du wagon quand le boulet est en vol, puis après son impact dans la paroi ?

Le boulet part vers la droite à la vitesse v ; le wagon, qui porte le canon, recule vers la gauche à la vitesse V.

(a) Boulet en vol. Au départ du coup, le canon pousse le boulet vers la droite, et le boulet pousse le canon avec une force égale vers la gauche. Aucune force extérieure horizontale n'agit sur le système, donc sa quantité de mouvement reste nulle. Celle du boulet, vers la droite, égale en grandeur celle du canon et du wagon, vers la gauche :

m × v = M × V   soit   V = m × v / M = (5 kg × 15 m/s) / 15 000 kg = 0,005 m/s

Le recul est minuscule, parce que le wagon est très lourd devant le boulet.

(b) Boulet incrusté dans la paroi. Le boulet pousse la paroi vers la droite, la paroi le pousse vers la gauche, et l'ensemble s'arrête. La quantité de mouvement totale est de nouveau nulle. Entre-temps, le wagon s'est déplacé vers la gauche et le boulet vers la droite.

Retenez l'idée pour l'hélice : elle lance du fluide vers l'arrière, comme le canon son boulet, et le fluide la pousse vers l'avant en retour. Contrairement au canon, elle ne tire pas un boulet une fois, mais une masse de fluide à chaque seconde.

Pour aller plus loin, nous pouvons appliquer ce bilan à un disque d'hélice avec la théorie de Froude des hélices de propulsion, ou voir ce que cela donne sur le rendement propulsif d'une hélice.